ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o:
Τα σημεία Lagrange

Α. Σημεία ισορροπίας και περίοδος περιστροφής

• Τι είναι τα σημεία ισορροπίας;

Θεωρούμε ένα σώμα που βρίσκεται μέσα σε ένα πεδίο δυνάμεων. Στο σώμα αυτό θα ασκείται κάποια συνολική δύναμη*. Αν η "πηγή" της δύναμης αυτής δεν προέρχεται μόνο από μια περιοχή, υπάρχει περίπτωση σε κάποια σημεία του χώρου η συνολική δύναμη πάνω στο σώμα να μηδενίζεται. Σε περίπτωση, λοιπόν, που το σώμα τοποθετηθεί σε ένα από αυτά με μηδενική ταχύτητα, θα ισορροπήσει. Κάθε τέτοιο σημείο ονομάζεται σημείο ισορροπίας. Για παράδειγμα, ανάμεσα σε δύο μάζες, υπάρχει πάντα ένα σημείο ισορροπίας στο οποίο αν τοποθετηθεί μια μάζα θα δέχεται μηδενική βαρυτική δύναμη.

* Σημείωση: Σε μερικές περιπτώσεις στον υπολογισμό της συνολικής δύναμης λαμβάνονται υπ' όψη και μη πραγματικές δυνάμεις. Το πιο γνωστό παράδειγμα μη πραγματικής δύναμης είναι η φυγόκεντρος, την οποία θα συναντήσουμε παρακάτω στην περιγραφή της φύσης των σημείων Lagrange.

• Τι είναι ευσταθές και τι ασταθές σημείο ισορροπίας;

Τι θα γίνει αν ένα σώμα τοποθετηθεί σε κάποιο σημείο ισορροπίας με κάποια μικρή ταχύτητα; Αυτό εξαρτάται από το είδος του σημείου ισορροπίας: Αν αυτό είναι ευσταθές τότε το σώμα θα έχει την τάση να επιστρέφει σε κάθε περίπτωση στο σημείο ευστάθειας, παραμένωντας, έτσι, για πάντα στην περιοχή γύρω από αυτό. Αν το σημείο είναι ασταθές, τότε με την πάροδο του χρόνου το σώμα θα απομακρύνεται σταδιακά από την περιοχή ασταθούς ισορροπίας και δε θα επιστρέψει ποτέ.

Β. Σημεία ισορροπίας Lagrange

• Ποια είναι τα σημεία ισορροπίας Lagrange;

Θεωρούμε ένα ουράνιο σώμα (πλανήτη, δορυφόρο) που κινείται σε κυκλική τροχιά (ή σχεδόν κυκλική) τροχιά γύρω από ένα άλλο (πλανήτη, άστρο). Τότε, σε σχέση με την ευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σώματα, υπάρχουν καθορισμένα σημεία ισορροπίας στο διάστημα. Την ύπαρξη των σημείων αυτών είχε προβλέψει ο Γάλλος μαθηματικός Louis Lagrange. Συνολικά, υπάρχουν 5 τέτοια σημεία ισορροπίας για ένα σύστημα δύο ουρανίων σωμάτων (πχ. Γη-Ήλιος ή Γη-Σελήνη). Τρία από αυτά (L₁ - L₂ - L₃), βρίσκονται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα δύο ουράνια σώματα, ενώ τα υπόλοιπα (L₄ - L₅), βρίσκονται πάνω στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου (βλέπε σχήμα). Σε αυτά σημεία, η συνολική δύναμη είναι μηδενική.

• Τα σημεία Lagrange είναι ευσταθή ή ασταθή;

Τα σημεία L₁, L₂, L₃ είναι ασταθή σημεία ισορροπίας. Γι' αυτό, ένας δορυφόρος που θα τοποθετηθεί σε μία από αυτές τις τρεις θέσεις, θα πρέπει να πυροδοτεί ανά τακτά χρονικά διαστήματα τους κινητήρες του, ώστε να αποτρέπει σε οποιαδήποτε διαταραχή στην ταχύτητα του (που μπορεί να προέρχεται από πολλούς παράγοντες), να το απομακρύνει από την περιοχή του σημείου ισορροπίας. Πρέπει να σημειωθεί, πάντως, πως για το σύστημα Γης - Ήλιου, αν και τα τρία αυτά σημεία είναι ασταθή, ορίζεται μια σταθερή τροχιά, γύρω από αυτά. Το θέμα πάντως, αν και σημαντικό, δε μας αφορά στην περίπτωση του LunarSAT.

Τα L₄, L₅ είναι ευσταθή σημεία ισορροπίας, γι' αυτό και οποιοδήποτε σώμα βρεθεί με μηδενική ταχύτητα στην περιοχή ενός από αυτά τα σημεία, θα εγκλωβιστεί για πάντα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι οι ομάδες των Τρωικών Αστεροειδών που βρίσκονται παγιδευμένοι στα σημεία L₄, L₅ του συστήματος Δία - Ηλίου.

• Ποια τα πλεονεκτήματα των σημείων Lagrange για τις διαστημικές αποστολές;

Το γεγονός πως τα σημεία Lagrange είναι σημεία ισορροπίας και έχουν σταθερή θέση ως προς ένα σύστημα ουρανίων σωμάτων, δίνει αρκετές επιλογές στους σχεδιαστές διαστημικών αποστολών:

( Α ) Το σημείο L₁ του συστήματος Γης - Ηλίου βρίσκεται πάνω στην ευθεία των δύο σωμάτων και προς τον Ήλιο, οπότε τα διαστημόπλοια που τοποθετούνται στη σταθερή τροχιά γύρω απ' αυτό, μπορούν να καταγράφουν τα χαρακτηριστικά του ηλιακού ανέμου, προτού αυτός φτάσει στη Γη. Το SOHO είναι ένας επιστημονικός δορυφόρος της ESA που κάνει ακριβώς αυτή τη δουλειά.

( Β ) Όλα τα σημεία Lagrange του συστήματος Γης - Ηλίου (εκτός του σημείου L₃) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως περιοχές τοποθέτησης μεγάλων διαστημικών τηλεσκοπίων. Οι θέσεις αυτές προσφέρονται για εύκολη επικοινωνία με τη Γη αλλά και για καλύτερες και περισσότερες παρατηρήσεις, καθώς στο οπτικό πεδίο του τηλεσκοπίου δε θα παρεμβάλλεται ο γήινος όγκος, όπως συμβαίνει με το Hubble (αφού όλα τα σημεία Lagrange Γης - Ηλίου βρίσκονται τουλάχιστον 1,5 εκατ. χλμ. από τη Γη). Ήδη, το επόμενο μεγάλο διαστημικό τηλεσκόπιο που σχεδιάζεται (Next Generation Space Telescope), προβλέπεται να τοποθετηθεί σε σταθερή τροχιά γύρω από το σημείο L₂ του συστήματος Γης - Ηλίου.

( Γ ) Το γεγονός πως τα σημεία Lagrange είναι σημεία ισορροπίας, σημαίνει πως στην περιοχή τους η βαρυτική δύναμη είναι σχεδόν ανύπαρκτη. Αυτό σημαίνει πως ένας δορυφόρος που ξεκινάει το ταξίδι του από εκεί, μπορεί με μια μικρή μεταβολή της ταχύτητας του (δηλαδή χωρίς μεγάλη κατανάλωση καυσίμων) να αλλάξει σημαντικά την τροχιά του. Φανταστείτε τον εαυτό σας σε μια περιοχή με ελάχιστη βαρύτητα. Αν πετάξετε με λίγη δύναμη μια πέτρα από το σημείο αυτό, θα καταφέρετε χωρίς κόπο να τη στείλετε χιλιάδες χιλιόμετρα μακριά.

Το πλεονέκτημα αυτό θα εκμεταλλευτεί και το LunarSAT, καθώς θα διέλθει από την περιοχή του σημείου L₁ Γης - Ηλίου, για να κατευθυνθεί προς τη Σελήνη. Το πως ακριβώς θα γίνει αυτό, θα το δείτε στο επόμενο κεφάλαιο...